προηγούμενο                                                                    επόμενο

Κανόνες που ορίζουν τον κατάλληλο αριθμό ψηφίων αποτελέσματος αριθμητικών πράξεων

Κανόνες στρογγυλοποίησης αριθμών

Εισαγωγή

Ο όρος ‘σημαντικά ψηφία’ αναφέρεται στον αριθμό των ψηφίων σε ένα αριθμητικό αποτέλεσμα, για τα οποία ο πειραματιστής έχει εμπιστοσύνη ότι είναι ακριβή. Είναι ένας πρόχειρος αλλά ταυτόχρονα αποτελεσματικός δείκτης των ορίων εμπιστοσύνης. Τα σημαντικά ψηφία είναι αριθμοί ικανοποιητικά γνωστοί, από τους οποίους ο τελευταίος- το λιγότερο σημαντικό ψηφίο- καταγράφεται με κάποια αβεβαιότητα.

Στις προηγούμενες σελίδες μελετήσαμε τον τρόπο να υπολογίζουμε την αβεβαιότητα κάθε αριθμού που χρησιμοποιεί ο πειραματιστής. Έτσι είναι σχετικά εύκολο να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο της αβεβαιότητας. Πχ η ‘υπερβολική’ ακρίβεια που δείχνει η αναγραφή του αριθμού 81.466793 ± 0.3 θα πρέπει να περιοριστεί σε 81.5 ± 0.3.

Η ίδια η αβεβαιότητα, δηλαδή το πειραματικό σφάλμα, είναι αβέβαιη και δεν πρέπει να γίνεται κατάχρηση σημαντικών ψηφίων. Έτσι ένα πειραματικό σφάλμα, που υπολογίζεται ± 0.46789 πιθανότατα θα πρέπει να γραφεί ±0.5, ύστερα από την εφαρμογή των κανόνων των σημαντικών ψηφίων, που θα αναπτύξουμε στη συνέχεια.

Για την καταγραφή των πειραματικών δεδομένων και των υπολογιστικών αποτελεσμάτων θα πρέπει να χρησιμοποιείται ο σωστός αριθμός των σημαντικών ψηφίων. Ποιος όμως είναι ο αριθμός αυτός;

Δύο είναι τα είδη των αριθμητικών τιμών  αποτελεσμάτων που χρησιμοποιούνται στην επιστήμη:

	Μετρήσεις και
	Υπολογισμοί

Ο τρόπος με τον οποίο προσδιορίζουμε τον κατάλληλο αριθμό των σημαντικό ψηφίων διαφέρει για τα δύο είδη τιμών.

Μετρήσεις

Για τον προσδιορισμό του κατάλληλου αριθμού των σημαντικών ψηφίων μιας μέτρησης χρειάζεται να λάβουμε υπόψη την βαθμονόμηση του οργάνου, με το οποίο γίνεται η μέτρηση. Συγκεκριμένα, το τελευταίο, το λιγότερο σημαντικό ψηφίο μιας μέτρησης, δίνει παράλληλα την πρώτη θέση, για την οποία γίνεται εκτίμηση της αβεβαιότητας της μέτρησης από τον πειραματιστή. Πχ ένας χάρακας είναι βαθμονομημένος με αριθμημένες χαραγές κάθε 1 cm. Επιπλέον μεταξύ των χαραγών αυτών υπάρχουν δέκα άλλες χωρίς αριθμούς. Κάθε μια από τις τελευταίες χαραγές αντιπροσωπεύει 0.1 cm. Με κάποια στοιχειώδη εξάσκηση μπορούμε να επιχειρήσουμε εκτίμηση για μέτρηση μήκους που πέφτει ανάμεσα στις δευτερεύουσες χαραγές. Η εκτίμηση μας  αντιπροσωπεύει την δεκαδική θέση του 0.01 cm. H θέση αυτή, αντιστοιχεί στο τελευταίο σημαντικό ψηφίο της τιμής μέτρησης.

 Υπολογισμοί

Ο κατάλληλος αριθμός των σημαντικών ψηφίων μιας τιμής που προκύπτει από υπολογισμούς καθορίζεται από ένα σύνολο συμβατικών κανόνων. Αν δεν είχαν οριστεί οι κανόνες αυτοί, θα έπρεπε να υπολογίζουμε την τιμή ενός μεγέθους χρησιμοποιώντας το άνω και το κάτω όριο της αβεβαιότητας με την οποία προσδιορίζεται, πράγμα που αποδεικνύεται στην πράξη εξαιρετικά ανιαρό και χρονοβόρο. Πριν όμως προχωρήσουμε στους κανόνες που καθορίζουν τον αριθμό των σημαντικών ψηφίων στους υπολογισμούς, πρέπει να αναφέρουμε τους κανόνες εκείνους που ορίζουν τα σημαντικά ψηφία των τιμών που πρόκειται να χρησιμοποιηθούν σε υπολογισμούς.

Κανόνες ορισμού του αριθμού των σημαντικών ψηφίων σε αριθμούς με δεκαδικά ψηφία

Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τον αριθμό 0.002000. Το ψηφίο 2 θεωρείται σημαντικό (κανόνας 1). Τα πρώτα τρία μηδενικά ψηφία δεν θεωρούνται σημαντικά, αφού δεν υπάρχουν μη μηδενικά ψηφία οπουδήποτε προς τα αριστερά τους (κανόνας 3). Τα τελευταία τρία μηδενικά θα πρέπει να θεωρηθούν όλα σημαντικά, επειδή το καθένα έχει το μη μηδενικό ψηφίο (2) αριστερά (κανόνας 2). Επομένως ο αριθμός 0.002000 συνολικά έχει τέσσερα σημαντικά ψηφία.

Η υποδιαστολή δείχνει το επίπεδο εκτίμησης στο οποίο αντιστοιχεί ο αριθμός. Αν όμως δεν σημειώνεται η υποδιαστολή, όπως πχ στον αριθμό 1000000, υπάρχει ασάφεια ως προς την σημαντικότητα. Η ασάφεια αυτή διευκρινίζεται γράφοντας τον αριθμό σε εκθετική μορφή, ως δύναμη του 10. Έτσι αν γράψουμε τον προηγούμενο αριθμό με την μορφή 1.00Χ10⁶ δείχνουμε ότι ο αριθμός έχει μετρηθεί με ακρίβεια, που αντιστοιχεί σε τρία σημαντικά ψηφία. Όταν ένας αριθμός εκφραστεί με εκθετικό συμβολισμό, τότε όλα τα ψηφία που εμφανίζονται πριν από την δύναμη του 10 θεωρούνται σημαντικά.

Κανόνες που ορίζουν τον κατάλληλο αριθμό ψηφίων αποτελέσματος αριθμητικών πράξεων

Μετά την διατύπωση των κανόνων που ορίζουν τον αριθμό των σημαντικών ψηφίων σε αποτελέσματα μετρήσεων είμαστε έτοιμοι για την διατύπωση κανόνων που καθορίζουν τον κατάλληλο αριθμό ψηφίων στα αποτελέσματα αριθμητικών πράξεων.

Για την κατανόηση του κανόνα αυτού, ας δώσουμε προσοχή στα εξής παραδείγματα:

Παράδειγμα 1^ο. Αν προσθέσουμε τους δύο αριθμούς, 203.46 + 13, το άθροισμα γράφεται ως 216 και όχι ως 216.46.

Παράδειγμα 2^ο. Αν υπολογίσουμε την διαφορά μεταξύ δύο μηκών, l₁=1034,6 mm μείον l₂=1032,6 mm, το αποτέλεσμα 1,8 mm γράφεται με δύο σημαντικά ψηφία, παρά το γεγονός ότι και οι δύο όροι της διαφοράς έχουν πέντε σημαντικά ψηφία.

Κανόνες στρογγυλοποίησης αριθμών

Υπάρχει τέλος ένα σύνολο κανόνων που καθορίζουν τον τρόπο με τον οποίο στρογγυλοποιούμε ένα αριθμό, απορρίπτοντας τα ψηφία που δεν είναι σημαντικά. Σύμφωνα με τους κανόνες αυτούς:

	Καθορίζουμε εφαρμόζοντας τους κανόνες των σημαντικών ψηφίων ποια θα πρέπει να είναι η δεκαδική θέση του τελευταίου ψηφίου.
	Αν το ψηφίο που βρίσκεται δεξιά από το τελευταίο σημαντικό ψηφίο είναι μικρότερο από 5, απορρίπτουμε όλα τα ψηφία που βρίσκονται στα δεξιά.
	Αν το ψηφίο που βρίσκεται δεξιά από το τελευταίο σημαντικό ψηφίο είναι μεγαλύτερο από 5, αυξάνουμε το τελευταίο σημαντικό ψηφίο κατά μια μονάδα και απορρίπτουμε όλα τα ψηφία δεξιά του σημαντικού.
	Αν το ψηφίο που βρίσκεται δεξιά του τελευταίου σημαντικού ψηφίου είναι 5, τότε αν το τελευταίο σημαντικό ψηφίο είναι περιττό, στρογγυλοποιούμε προσθέτοντας μια μονάδα. Αν το τελευταίο σημαντικό ψηφίο είναι άρτιο, το αφήνουμε όπως είναι.
	Αν το τελευταίο ψηφίο είναι 5 και δεν ακολουθείται από ψηφία ή ακολουθείται από μηδενικά, ο αριθμός μπορεί να στρογγυλοποιηθεί με απόρριψη του ψηφίου 5 και των μηδενικών, αν υπάρχουν.

Παράδειγμα 1^ο. Έστω ότι θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 42.4668 σε τρία σημαντικά ψηφία. Το τελευταίο σημαντικό ψηφίο είναι το 4. Το ψηφίο δεξιά είναι το 6, μεγαλύτερο από το 5 και σύμφωνα με τον κανόνα 3 το ψηφίο 4 αυξάνει κατά μια μονάδα και το τελικά ο αριθμός γράφεται 42.5.

Παράδειγμα 2^ο. Έστω ότι θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 6.585 σε τρία σημαντικά ψηφία. Το τελευταίο σημαντικό ψηφίο είναι το 8, το οποίο δεν έχει άλλο ψηφίο προς τα δεξιά. Επομένως σύμφωνα με τον κανόνα 4, επειδή το ψηφίο 8 είναι άρτιο, παραμένει όπως είναι και ο αριθμός γράφεται 6.58.