Η μέση τιμή και το τυπικό σφάλμα

Η αριθμητική μέση τιμή ενός συνόλου Ν μετρήσεων x_i ορίζεται ως:

Η μέση τιμή είναι η καλύτερη εκτίμηση της πραγματικής τιμής. Επαναλαμβανόμενες μετρήσεις ακολουθούν την κανονική ή Γκαουσιανή κατανομή.

Η Γκαουσιανή ή κανονική κατανομή

 Η πιθανότητα μέτρησης μιας τιμής x_i, η οποία ανήκει σε Γκαουσιανή κατανομή, υπολογίζεται από την έκφραση:

όπου είναι η μέση τιμή και σ_x είναι η τυπική απόκλιση, η οποία ορίζεται ως

Η τυπική απόκλιση είναι το μέτρο της απόκλισης μιας τυπικής μέτρησης από τη μέση τιμή ενός συνόλου επαναλαμβανόμενων μετρήσεων. Μπορεί να αποδειχτεί ότι το 68% των μετρήσεων βρίσκονται μέσα στο διάστημα μιας τυπικής απόκλισης από τη μέση τιμή

και ότι όλες σχεδόν οι μετρήσεις (95%) αναμένονται σε διάστημα 2 σ_x.

  Η ποσότητα σ_x² ονομάζεται διακύμανση.

Είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούμε το τυπικό σφάλμα του μέσου . Αποδεικνύεται ότι για σύνολο Ν μετρήσεων, η κάθε μια από τις οποίες συνοδεύεται από σφάλμα δx_i, το σφάλμα στη μέση τιμή είναι: